Серия "Интерактивные учебные пособия"

Аналоговые фильтры. Диаграмма полюсов и нулей

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

Аналоговые фильтры. Диаграмма полюсов и нулей

Физически реализуемые усилительные системы описываются аналитическими функциями комплексного переменного p, которые полностью определяются значениями p, при которых функция обращается в нуль и бесконечность. Эти значения функции называются нулями zm и полюсами pn функции Т(p).

Комплексный коэффициент передачи (передаточную функцию) фильтра можно записать в следующем виде:

T(p)= b m p m + b m−1 p m−1 +…+ b 1 p+ b 0 a n p n + a n−1 p n−1 +…+ a 1 p+ a 0 = (p− z 1 )(p− z 2 )…(p− z m ) (p− p 1 )(p− p 2 )…(p− p n ) , (1)

где bm, an - вещественные коэффициенты, зависящие от физических параметров цепи.

Часто при синтезе цепей анализируются не передаточные функции, а функции, описывающие входное сопротивление или проводимость - функции иммитанса. Обобщающим для функций иммитанса и коэффициента передачи является термин "функции цепи". Нули и полюса функции удобно отображать на комплексной плоскости в виде диаграммы полюсов и нулей (рис. 1). На рисунке обозначено:

p 1,2 = σ p ±j ω ˜ p;>

ω p = σ p 2 + ω ˜ p 2 .

Рис. 1

Вводится очень важный параметр – добротность полюса:

q p = ω p / 2 σ p .

Выражение для передаточной функции можно представить в следующем вид

T(jω)= (jω− z 1 )(jω− z 2 )…(jω− z m ) (jω− p 1 )(jω− p 2 )…(jω− p n ) =| T(jω) | e jφ(ω) , (2)

где | T(jω) | - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); φ(ω) - фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Рис. 2

В выражении (2) каждый сомножитель (jω−pn) или (jω−zm ) можно представить так, как, например, для полюса p₁ (рис. 2):

(jω− p 1 )= A p1 ⋅ e j φ p 1 .

На комплексной плоскости он представляет собой вектор, который образуется как разность текущего вектора p=jω (от нуля до точки на положительной мнимой полуоси) и вектора особой точки (в данном случае p₁), а, следовательно, соединяет полюс р₁ с точкой p. Длина этого вектора характеризуется модулем | p− p 1 |= A p1 , а угол поворота относительно положительной вещественной оси - величиной φр1 . Тогда выражения для АЧХ и ФЧХ можно записать таким образом:

| T( jω ) |= A z1 A z2 A z3 … A zm A p1 A p2 A p3 … A pn , (3)

φ(ω)= φ z 1 + φ z 2 + φ z 3 +…+ φ z m − φ p 1 − φ p 2 − φ p 3 −…− φ p n . (4)

Графическое описание нулей и полюсов коэффициента передачи устройства однозначно и полностью определяет его АЧХ и ФЧХ.

С учётом (3) легко установить, что, чем ближе к мнимой оси расположены полюса (чем меньше длина вектора Apn), тем больше коэффициент передачи в соответствующей частотной области. Пара полюсов передаточной функции, имеющих максимальную добротность, называется критической.

Рис. 3

При больших значениях добротности полюсов на частоте ωm, соответствующей максимуму коэффициента передачи, выполняются следующие соотношения (рис. 3):

j ω ˜ p = ω p ,

A p1 = σ p ,

A p2 =2 ω p .

В этом случае для модуля коэффициента передачи ФНЧ можно записать

| T(j ω m ) |= 1 A p1 A p2 = 1 σ p ⋅2 ω p ,

а так как

σ p = ω p 2 q p ,

то

| T(j ω m ) |= q p ω p 2 .

Нормированное значение коэффициента передачи активного ФНЧ относительно передачи на нулевой частоте равно

| T ^ (j ω m ) |= | T(j ω m ) | | T(ω=0) | = q p ω p 2 / 1 ω p 2 = q p . (5)

Таким образом, нормированный коэффициент передачи на частоте максимума примерно равен добротности полюса.

Если полюс расположен на мнимой оси, это означает бесконечную передачу (генератор). Именно наличие комплексных полюсов и позволяет с помощью индуктивностей или положительных обратных связей (ПОС) формировать произвольные частотные характеристики.

Формированию амплитудно-частотных характеристик на основе рассмотренного способа описания передаточных функций с помощью диаграммы полюсов и нулей посвящён представленный ниже интерактивный скрипт.

Результат измерения: ω, K -

ω[рад/сек]=0

Выберите количество нулей

0 1 2

Выберите количество полюсов

1 2 4

Передаточная функция

p²+ p+

p⁴+ p³+ p²+ p+

Информация о полюсах функции

p1= +j Qp1=
p2= -j Qp2=
p3= +j Qp3=
p4= -j Qp4=

Информация о нулях функции

z1= +j
z2= -j

После выбора количества полюсов и нулей следует нажать кнопку "Расчёт". При нажатии левой кнопки мыши над выбранным полюсом или нулём объект выделяется красным цветом и доступен для перемещения по диаграмме. Параметры диаграммы автоматически рассчитываются и рисуется АЧХ, соответствующая текущему расположению полюсов и нулей. Ползунковый элемент управления "ω[рад/сек]" предназначен для формирования текущей круговой частоты. Коэффициент передачи рассчитывается по формуле (3), результат отображается в поле "Результат измерения: ω, K".