Серия "Интерактивные учебные пособия"

Импульсная модуляция

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

Импульсная модуляция

Использование импульсных сигналов позволяет осуществить временное разделение каналов в системах многоканальной связи. Любой сигнал с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, отсчитанными в соответствии с теоремой Котельникова через интервалы времени

T=1/(2 F max⁡ ) . (1)

Выбрав период повторения импульсного сигнала в соответствии с (1) можно с высокой степенью точности воспроизвести сигнал в точке приёма. Кроме того, так как длительность импульсного сигнала может быть достаточно малой (tи≪T), то при большой скважности импульсов в оставшейся части периода Т можно расположить импульсные сигналы, соответствующие другим сообщениям.

Рис. 1

Для передачи сообщений осуществляют модуляцию импульсов. Различают следующие виды модуляции (рис. 1):

1) амплитудно-импульсная модуляция (АИМ),

2) широтно-импульсная модуляция (ШИМ),

3) временная импульсная модуляция (ВИМ).

При АИМ амплитуда импульсов изменяется по закону передаваемого сигнала, в простейшем случае одного модулирующего тона Ω.

Немодулированная последовательность импульсов представляется рядом Фурье в следующем виде:

U(t)=U[ 1 q + Σ k=1 ∞ 2 kπ sin⁡( kπ q )cos⁡(k ω 1 t) ],

где ω₁ =2π/T₁ - круговая частота повторения тактовых импульсов, T₁ - период повторения, q=T₁/tи - скважность импульсов.

Различают АИМ первого (АИМ-1) и второго (АИМ-2) рода. При АИМ-1 высота импульса в пределах его длительности изменяется по закону модулирующего напряжения. При АИМ-2 высота импульса зависит лишь от значения сигнала в тактовой точке.

В соответствии с определением АИМ амплитуда импульсов U при АИМ-1 будет изменяться по следующему закону:

U(t)=U[ 1+msin⁡(Ωt) ],

где m - глубина модуляции.

Окончательное выражение можно представить в виде:

U АИМ−1 (t)=U(1+msin⁡(Ωt)[ 1 q + Σ k=1 ∞ 2 kπ sin⁡( kπ q )cos⁡(k ω 1 t) ]= = U q + Um q sin⁡(Ωt)+ 2U kπ Σ k=1 ∞ sin⁡( kπ q )cos⁡(k ω 1 t) + Um kπ Σ k=1 ∞ sin⁡( kπ q )sin⁡(k ω 1 ±Ω)t .

В случае модуляции одним тоном Ω спектр амплитуд модулированной последовательности импульсов кроме составляющих с частотами kω₁ содержит составляющую с частотой модуляции Ω и боковыми составляющими с частотами kω₁t±Ω возле каждой гармоники ω₁спектра.

Ширина спектра определяется длительностью импульсов tи: ΔF=1/tи. На практике в большинстве случаев полоса частот определяется первым лепестком спектра, где сконцентрировано около 90% энергии всего сигнала.

Выражение для сигнала АИМ-2 при модуляции одним тоном может быть получено в виде:

U АИМ−2 (t)= U q [ 1+m sin⁡(Ω t и /2) Ω t и /2 sin⁡Ωt+ Σ k=1 ∞ { 2 sin⁡(k ω 1 t и /2) k ω 1 t и /2 cos⁡(k ω 1 t) + +m sin⁡[(k ω 1 ±Ω) t и /2] (k ω 1 ±Ω) t и /2 sin⁡(k ω 1 ±Ω)t } ].

Для ФИМ аналитическое выражение может быть представлено в следующем виде:

U ФИМ (t)= U t и T 1 −2 UΔ t и T 1 sin⁡ Ω t и 2 cos⁡Ω( t− t и 2 )+ +2 U π Σ k=1 ∞ Σ n=−∞ ∞ 1 k J n (k ω 1 Δ t и )sin⁡[(k ω 1 −nΩ) t и 2 ]cos⁡[(k ω 1 −nΩ)+nΩ t и 2 ],

где ω₁Δtи - индекс модуляции, Δtи - наибольшее смещение фронта импульса.

Спектр сигнала при ФИМ держит постоянную составляющую, составляющую с частотой модулирующего сигнала Ω, основную гармонику с частотой ω₁ и кратные ей высшие гармоники с частотами kω₁, вокруг которых размещаются полосы боковых гармоник с частотами kω₁±nΩ.

При ШИМ аналитическое выражение может быть представлено в следующем виде:

U ШИМ (t)= U t и T 1 + UΔ t и T 1 sin⁡Ωt+2 U π Σ k=1 ∞ C k J 0 ( B k )cos⁡(k ω 1 t)+ +2 U π Σ k=1 ∞ C k Σ n=1 ∞ J 2n ( B k )cos⁡[(k ω 1 ±2nΩ)t]+ +2 U π Σ k=1 ∞ D k Σ n=1 ∞ J 2n−1 ( B k )sin⁡[(k ω 1 ±(2n−1)Ω)t].

Здесь J2n(Bk) и J2n-1(Bk) - функции Бесселя первого рода. Принято Ck = sin(kπtи/T₁)/k и Dk = cos(kπtи/T₁)/k.

Формированию импульсно-модулированных сигналов посвящён представленный ниже интерактивный скрипт. Синяя синусоида представляет собой модулирующее колебание. Красным цветом отмечены импульсы дискретизации. Зелёным цветом отображается модулированная импульсная последовательность при амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-импульсной (ШИМ) или время-импульсной (ВИМ) модуляции. Ползунковые элементы управления позволяют регулировать частоту модуляции ("Fмод[Гц]") и глубину модуляции ("m[%]"). При включении флажкового элемента управления "Спектр" отображаются спектры сформированных импульсных последовательностей. При этом для АИМ дополнительно красным цветом отображается огибающая амплитудного спектра.

Fмод[Гц]=100

m[%] =0

Спектр
АИМ

ШИМ

ВИМ

4) дельта модуляция, при которой передаются только сведения о направлении изменения сигнала по сравнению с предыдущим состоянием. Функциональная схема дельта модулятора представлена на рис. 2, а примерные осциллограммы сигналов на рис. 3.

Рис. 2

Рис. 3

Формированию дельта-модулированного сигнала посвящён представленный ниже интерактивный скрипт. Зелёная синусоида представляет входное колебание. Фиолетовым цветом отмечены импульсы дискретизации. Красным цветом отображается сигнал на выходе интегратора, который в данном случае является также и демодулятором. Зелёным цветом отображается дельта-модулированная импульсная последовательность. Ползунковые элементы управления позволяют регулировать частоту модуляции ("Fмод[Гц]"),дискретизации ("Fтакт[кГц]")и амплитуду сигнала ("Um[В]").

Fмод[Гц]=100

Fтакт[кГц]=10

Um[В]=0

5) Сигма-дельта модуляция

Сигма-дельта модулятор представлен на рис. 4

Рис. 4 – Сигма-дельта модулятор (или АЦП) 1-порядка

Формированию сигма-дельта-модулированного сигнала (рис. 5) посвящён представленный ниже интерактивный скрипт. Зелёная синусоида представляет входное колебание. Фиолетовым цветом отмечены импульсы дискретизации. Красным цветом отображается сигнал на выходе интегратора. Зелёным цветом - сигма-дельта-модулированная импульсная последовательность. Ползунковые элементы управления позволяют регулировать частоту модуляции ("Fмод [Гц]"), дискретизации ("Fтакт [кГц]") и амплитуду сигнала ("Um[В]").

Fмод[Гц]=100

Fтакт[кГц]=10

Um[В]=1

5) импульсно-кодовая модуляция (ИКМ).

Импульсно-кодовая модуляция. Для визуализации нажимать последовательно кнопку "Анимация"

Искажения импульсных сигналов

При резких изменениях параметров входного сигнала усилителя радиосигналов (УРС) на характер выходного напряжения существенно влияют переходные или нестационарные процессы. Переходные процессы являются следствием инерционных свойств линейных цепей, обусловленных наличием реактивных элементов (конденсаторов и индуктивностей).

Для оценки переходных процессов достаточно знать переходную характеристику амплитуды, под которой понимают нормированную кривую установления огибающей напряжения на выходе усилителя при подаче на его вход гармонического напряжения с частотой, равной частоте настройки усилителя. Анализ существенно упрощается, если воспользоваться методом низкочастотных эквивалентов.

(а) – высокочастотный тракт, (б) – эквивалентный низкочастотный тракт

Рис. 5

Согласно этому методу (рис. 5) огибающая выходного напряжения в высокочастотном тракте с симметричными характеристиками (чётная симметрия для K(ω) и нечётная симметрия для φ(ω)) приобретает такие же изменения, какие возникают в видеосигнале при его прохождении через низкочастотный тракт с АЧХ и ФЧХ, форма которых совпадает с формой характеристик избирательной цепи для верхней боковой полосы. Видеосигнал в данном случае представляет собой огибающую входного высокочастотного модулированного напряжения.

Проведём анализ переходной характеристики амплитуды и искажений радиоимпульсов на выходе усилителя. Из теории преобразования Фурье известно, что если все составляющие спектра входного напряжения получают фазовый сдвиг ωtз, линейно связанный с их частотой, то это приводит лишь к запаздыванию выходного сигнала на время tз. Последнее возможно в том случае, если ФЧХ системы линейна φ(ω)=−ωtз и имеет тангенс угла наклона tз=│dφ/dω│.

Временем запаздывания принято считать время, прошедшее от начала включения скачка напряжения до момента, когда выходное напряжение достигнет половины установившегося значения.

Временем нарастания tн называется время, в течение которого выходное напряжение изменяется от нуля до установившегося значения с постоянной скоростью, равной скорости изменения выходного напряжения в момент запаздывания:

τ н = K o | dB dt | t= t з .

Это значение близко к интервалу времени изменения выходного напряжения от 0,1 до 0,9 установившегося значения, удобному при экспериментальном определении параметров переходной характеристики.

Найдём параметры переходной характеристики амплитуды идеального УПЧ с прямоугольной АЧХ, имеющего коэффициент усиления Ко в пределах полосы пропускания ΔΩо=2πΔFo. Низкочастотный эквивалент такого усилителя будет иметь полосу, равную ΔΩо/2.

Из теории линейных электрических цепей известно выражение единичного скачка напряжения

1(t)= 1 2 + 1 π ∫ 0 ∞ sin⁡Ωt Ω dΩ

Тогда на выходе низкочастотного эквивалента переходная характеристика амплитуды

B(t)= K o 2 + K o π ∫ 0 ΔΩ/2 sin⁡Ω(t− t з ) Ω dΩ .

Для расчёта времени нарастания найдём скорость изменения переходной характеристики:

dB dt = K o π ∫ 0 ΔΩ/2 d dt [ sin⁡Ω(t− t з ) Ω ]dΩ = K o π ∫ 0 ΔΩ/2 cos⁡Ω(t− t з )dΩ = = K o π sin⁡[0,5ΔΩ(t− t з )] t− t o .

Введём новую переменную x=0,5ΔΩ(t− t з ) , тогда

dB dt = K o Δ Ω o 2π ⋅ sin⁡x x ,

откуда при x = 0 следует, что

dB dt = K o Δ Ω o 2π = K o Δ F o .

Окончательно для времени нарастания можно записать:

τ н = K o | dB dt | t= t з = K o K o Δ F o = 1 Δ F o .

Время нарастания обратно пропорционально ширине полосы пропускания усилителя.

Проанализируем прохождение импульсных сигналов через избирательную систему. Решение задачи о прохождении импульсных сигналов через линейные избирательные системы на основании принципа суперпозиции может быть сведено к определению результирующего эффекта при воздействии на систему двух функций включения. На рис. 6,а показано, что входной видеоимпульс с длительностью tи эквивалентен воздействию на вход резонансного усилителя двух функций включения, равных по величине, противоположных по знаку и сдвинутых относительно друг друга на время tи. Аналогично, подача на вход усилителя радиоимпульса длительностью tи (рис. 6,б) эквивалентна включению на его вход двух гармонических противофазных напряжений, сдвинутых на время tи.

Рис. 6 - Формирование импульсного сигнала

Для переходной характеристики амплитуды идеального УПЧ можно записать следующее выражение:

B(t)= K o 2 + K o π ∫ 0 x m sin⁡x x dx   ,

где x m =0,5Δ Ω o (t− t з ) и x=Ω(t− t з ) .

Рис. 7 - График интегрального синуса

Функция вида Si( x m )= ∫ 0 x m (sin⁡x)/x dx представляет собой интегральный синус, график которого представлен на рис. 7.

Расчёту интегрального синуса также посвящена интерактивная демонстрационная программа "График интегрального синуса".

Для огибающей выходного напряжения импульсного усилителя можно записать:

U вых (t)= U вых.1 + U вых.2 =B(t)−B(t− t и )=

= K o π {Si[0,5Δ Ω o (t− t з )]−Si[0,5Δ Ω o (t− t з − t и )]} .

Рис. 8

На рис. 8 изображён график огибающей выходного напряжения при tи > tн, а на рис. 9 рассмотрен случай tи<tн. При длительности входного импульса, превышающей время нарастания, амплитуда выходного напряжения успевает нарасти до установившегося значения. Поэтому амплитуда выходного напряжения максимально возможная и не зависит от длительности импульса.

Рис. 9

Длительность импульса выходного напряжения, отсчитанная на уровне половины установившейся величины, равна длительности импульса входного напряжения. При длительности входного импульса меньше времени нарастания длительность импульса выходного напряжения равна tи.вых=tи+tн и практически не зависит от длительности входного импульса при tи≪tн. Форма огибающей импульса близка к треугольной. Если проследить за изменением амплитуды выходного напряжения, то можно сделать вывод о том, что амплитуда выходного импульса увеличивается с увеличением длительности входного импульса.

Максимальная амплитуда выходного напряжения Uвых.max определится после подстановки t = tm=tз+tи/2:

U вых (t )= U вых.1 + U вых.2 = = K o U m π { Si[ 0,5Δ Ω o (t− t з ) ]−Si[ 0,5Δ Ω о (t− t з − τ и ) ] }= = K o U m π { Si[ 0,5Δ Ω o ( t з + τ и /2− t з ) ] − −Si[ 0,5Δ Ω о ( t з + τ и /2− t з − τ и ) ] }=

= 2 K o U m π Si(Δ Ω o τ и /4).

При малых значениях tи интегральный синус можно заменить его аргументом

U вых (t )= 2 K o U m π ⋅ 2πΔ F o τ и 4 = K o U m Δ F o τ и .

Таким образом, при tи≪tн амплитуда импульса выходного напряжения линейно зависит от ширины полосы пропускания тракта и длительности входного импульса.

Рис. 10 - Переходные процессы в резонансном УРС

Соответствующие временные диаграммы для выходного напряжения однокаскадного резонансного усилителя представлены на рис. 10

Рассмотрим переходной процесс в усилителе со связанными контурами. Операторный коэффициент передачи низкочастотного эквивалента при δэ1= δэ2= δэ

K(jξ)=−j Sη R oe1 R oe2 ⋅ n 1 n 2 1+ η 2 + (jξ) 2 +2jξ ,

откуда, приняв K 0 =Sη R oe1 R oe2 /(1+ η 2 )=1 , получим

K(jΩ)=−j α 2 (1+ η 2 ) (α+jΩ) 2 + α 2 η 2 ,

K(p)=−j α 2 (1+ η 2 ) (α+p) 2 + α 2 η 2 .

Далее определяем

B(p)=−j α 2 (1+ η 2 ) p[ (α+p) 2 + α 2 η 2 ] ,

и после перехода к оригиналу получаем

B(t)=−j[ 1− 1+ η 2 η ⋅ e −αt sin⁡(ηαt+θ) ],

где θ = arctg η.

Процесс установления выходного напряжения в усилителе со связанными контурами носит колебательный характер. Циклическая частота колебаний огибающей зависит от параметра связи и равна ηα. Физически это объясняется тем, что при подаче сигнала на вход усилителя в системе связанных контуров помимо вынужденных колебаний возникают и собственные затухающие колебания на частотах связи системы. В случае, когда контуры идентичны, частоты связи равны

ω 1,2 = ω о 1 1± k св ,

откуда при kсв≪1

ω 1,2 = ω о (1± η δ э 2 )= ω о ±αη .

Период колебаний огибающей соответствует разностной частоте

T= 4π ω 1 − ω 2 = 2π αη .

Таким образом, в начальный момент времени выходное напряжение усилителя содержит три составляющие. Спектральный состав этого напряжения соответствует обычному АМ колебанию с частотой модуляции αη. Затухание собственных колебаний соответствует постепенному уменьшению глубины модуляции. В результате через некоторое время колебания огибающей прекращаются и наступает установившийся режим.

Анализ переходных характеристик показывает, что с ростом параметра связи возрастает крутизна фронта огибающей, частота и амплитуда колебаний вокруг установившегося значения (рис. 11). Это объясняется расширением полосы пропускания усилителя и увеличением разноса частот связи. В первом приближении частоты связи соответствуют положению максимумов резонансной характеристики усилителя.

Рис. 11 - Переходные характеристики

Величина выброса определяется амплитудой собственных колебаний системы в момент первого совпадения их по фазе с вынужденными колебаниями (рис. 12 для t = T/2).

Рис. 12 - Формирование выброса

Временные диаграммы для выходного напряжения усилителя со связанными контурами приведены на рис. 13. Как видно из рисунка, в случае УРС со связанными контурами после окончания "основного" импульса возникает ряд "ложных", которые обусловлены переходным процессом и амплитуда которых может быть весьма значительной. Эти импульсы в радиолокационных системах или в системах с импульсной модуляцией могут привести к искажению получаемой информации. Поэтому в приёмниках импульсных сигналов не используются УПЧ с многогорбыми резонансными кривыми.

Рис. 13 - Переходные процессы в УРС со связанными контурами

Демонстрация искажений радиоимпульсного сигнала на выходе двухконтурного УРС представлена ниже в интерактивном скрипте.

Верхняя осциллограмма представляет входной радиоимпульс, нижняя - выходной. Ползунковые элементы регулировки позволяют менять добротность контуров "Q", параметр связи "b" и длительность импульса "tимп[мсек]".

Q=48

b=1

tимп[мсек]=10

Таким образом, искажениями формы импульсного сигнала являются:

1. Затягивание времени нарастания (переднего фронта) импульса.

2. Затягивание времени спада (среза или заднего фронта) импульса.

3. Завал вершины видеоимпульса.

4. Выброс на переднем фронте импульса.

5. Колебательный процесс установления вершины импульса.

6. "Ложные" импульсы по окончании основного импульса.