Серия "Интерактивные учебные пособия"

Радиосигналы с угловой модуляцией

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

Радиосигналы с угловой модуляцией

Выражение для фазо-модулированного колебания записывается следующим образом:

U(t)= U m cos⁡[ ω c t+φ(t)]= U m cos⁡[ ω c t+ m фм cos⁡(Ωt)] ,

где mфм=kUmΩ - индекс ФМ (максимальное отклонение фазы).

Вторая форма записи учитывает то обстоятельство, что ФМ представляет собой разновидность угловой модуляции.

Так как ω= dφ dt , то:

ω= d dt [ ω c t+ m фм cos⁡(Ωt)]= ω c − m фм Ωsin⁡(Ωt)

и

U(t)= U m cos⁡[ ω c −Δ ω фм sin⁡(Ωt)]t .

Параметр Δωфм представляет собой максимальную девиацию частоты при ФМ: Δ ω фм = m фм Ω .

Выражение для частотно-модулированного колебания записывается следующим образом:

U(t)= U m cos⁡[ ω c +ω(t)]t= U m cos⁡[ ω c +Δ ω m cos⁡(Ωt)]t ,

где Δωm=kUmΩ - максимальная девиация частоты ЧМ.

Вторая форма записи учитывает то обстоятельство, что ЧМ представляет собой разновидность угловой модуляции.

Так как φ=∫ ωdt , то:

φ=∫ [ ω c +Δ ω m cos⁡(Ωt) ]dt= ω c t+ Δ ω m Ω sin⁡(Ωt)= ω c t+ m чм sin⁡(Ωt)

и

U(t)= U m cos⁡[ ω c t+ m чм sin⁡(Ωt)] . (1)

Параметр mчм представляет собой максимальное отклонение фазы и называется индексом ЧМ модуляции:

m чм = Δ ω m Ω .

При mчм≪1 ЧМ называется узкополосной, а выражение (1) можно представить в следующем виде:

U(t)= U m [cos⁡( ω c t)cos⁡( m чм sin⁡(Ωt)−sin⁡( ω c t)sin⁡( m чм sin⁡(Ωt)]≈

≈ U m [cos⁡( ω c t)− m чм sin⁡( ω c t)sin⁡(Ωt)]= = U m [cos⁡( ω c t)− 1 2 m чм cos⁡( ω c −Ωt)+ 1 2 m чм cos⁡( ω c +Ωt)],

так как при mчм≪1 выполняются соотношения:

cos⁡φ≈1 ,

sin⁡φ≈φ .

Спектр сигнала с узкополосной ЧМ практически не отличается от спектра АМ сигнала, состоящего из несущей и двух боковых составляющих. Отличие заключается в изменении фазы одной из боковых составляющих на 180 градусов. В результате при ЧМ происходит изменение не только длины суммарного вектора, но и его фазы (рис. 1). При АМ в результате модуляции происходит изменение длины суммарного вектора без изменения его фазы.

Рис. 1

Обратимся к рассмотрению более общего случая, когда m – любая величина. Для этого функции sin(msinΩt) и cos(msinΩt) разложим в тригонометрические ряды.

В теории Бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

sin⁡(msin⁡ Ω t)=2 ∑ n=1 ∞ J 2n−1 (m)sin⁡[(2n−1)Ωt]

cos⁡(msin⁡Ωt)= J 0 (m)+2 ∑ n=1 ∞ J 2n (m)cos⁡(2nΩt)

где Jn(m) – Бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента m.

С учётом этих соотношений

U(t)= U ω1 ( J 0 (m)cos⁡( ω 1 t)− J 1 (m)cos⁡( ω 1 −Ω)t+ J 1 (m)cos⁡( ω 1 +Ω)t+ + J 2 (m)cos⁡( ω 1 −2Ω)t+ J 2 (m)cos⁡( ω 1 +2Ω)t− J 3 (m)cos⁡( ω 1 −3Ω)t+ + J 3 (m)cos⁡( ω 1 +3Ω)t+...)

Таким образом, при угловой модуляции спектр сигнала состоит из бесконечного числа боковых частот, отличающихся от несущей частоты ω₁ на ±nΩ. Хотя теоретически спектр колебаний с угловой модуляцией бесконечен, практически он ограничен.

При n > m функция Jn(m) имеет малые значения. Это означает, что амплитуды боковых составляющих в рассмотренном спектре сигнала с угловой модуляцией становятся очень малыми и ими можно пренебречь. При увеличении m происходит перераспределение энергии. Все большая часть энергии переносится боковыми составляющими.

Этим и определяется практическая ширина спектра сигнала с угловой модуляцией, т. е.

Δω=2Ω(1+m+ m )

При больших значениях m практически ширина полосы равна удвоенной девиации частоты.

Для ЧМ ширина спектра зависит только от амплитуды модулирующего сигнала. Число спектральных линий (гармонических составляющих) практического спектра ЧМ-колебаний изменяется обратно пропорционально частоте Ω, т. е. n=ωд / Ω .

Для ФМ-колебаний при m>>1 ширина спектра зависит как от амплитуды, так и от частоты Ω модулирующего сигнала. При ФМ число спектральных линий спектра при UΩ = const остается неизменным. С изменением Ω при UΩ = const изменяется интервал между соседними гармоническими составляющими и общая ширина спектра ФМ-сигнала также изменится.

Формированию сигнала с угловой модуляцией (ЧМ и ФМ) посвящён представленный ниже интерактивный скрипт. Рисуются спектры модулированных сигналов, а при включённой опции "Осциллограмма" их осциллограммы.

fмод[Гц]=1000

Результат измерения: f, U -

ЧМ
ФМ

Девиация df[кГц]=0
Индекс M=1

Уровень:0.1
Диапазон:1

Осциллограмма