Серия "Интерактивные учебные пособия"

Диаграмма Вольперта-Смита

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

Диаграмма Вольперта-Смита

Комплексное сопротивление нагрузки, волновое сопротивление линии и комплексный коэффициент отражения связаны соотношением

Z н = U I = Z 0 1+ Γ ˙ н 1− Γ ˙ н .

Пронормируем сопротивление:

Z ^ н = Z н Z 0 = 1+ Γ ˙ н 1− Γ ˙ н = r ^ н +j x ^ н

и учтём комплексный характер коэффициента отражения:

r ^ н +j x ^ н = 1+ Γ ˙ н 1− Γ ˙ н = 1+Re⁡( Γ ˙ н ) +jIm ⁡ ( Γ ˙ н ) 1− Re⁡ ( Γ ˙ н ) − jIm⁡ ( Γ ˙ н ) =

= [1+Re⁡( Γ ˙ н )+jIm⁡( Γ ˙ н )] [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )−j Im⁡ ( Γ ˙ н )] ⋅ [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )+jIm⁡ ( Γ ˙ н )] [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )+jIm⁡( Γ ˙ н )] =

= 1− Re⁡ 2 ( Γ ˙ н )− Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ) +j 2Im⁡ ( Γ ˙ н ) [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )] = = 1− Re⁡ 2 ( Γ ˙ н )− Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ) [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )] + +j 2Im⁡( Γ ˙ н ) [1−Re⁡ ( Γ ˙ н )] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )] .

Для действительной части можно записать:

r ^ н { [ 1−Re⁡( Γ ˙ н ) ] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ) }= =1− Re⁡ 2 ( Γ ˙ н )− Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ); Re⁡ 2 ( Γ ˙ н )( 1+ r ^ н )−2 r ^ н Re⁡( Γ ˙ н )+ + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )( 1+ r ^ н )=1− r ^ н ;

( 1+ r ^ н ) [ Re⁡ 2 ( Γ ˙ н )− 2 r ^ н Re⁡( Γ ˙ н ) (1+ r ^ н ) + + r ^ н 2 ( 1+ r ^ н ) 2 − r ^ н 2 ( 1+ r ^ н ) 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ) ]=1− r ^ н ;

[ Re⁡( Γ ˙ н )− r ^ н ( 1+ r ^ н ) ] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )= = 1− r ^ н 1+ r ^ н + r ^ н 2 ( 1+ r ^ н ) 2 ; [ Re⁡( Γ ˙ н )− r ^ н ( 1+ r ^ н ) ] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )= 1 ( 1+ r ^ н ) 2 .

Полученное выражение показывает, что на комплексной плоскости Гн все возможные сопротивления с нормализованным значением r ^ н находятся на круге с радиусом [1/(1+ r ^ н )] и центром в точке [ r ^ н /1/(1+ r ^ н ),0] . Поскольку нормализованное сопротивление r ^ н изменяется от нуля до бесконечности, то мы получаем семейство окружностей (рис. 1), содержащихся внутри области для коэффициента отражения | Гн | < 1.

Рис. 1

Для мнимой части можно записать:

x ^ н { [ Re⁡( Γ ˙ н )−1 ] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н ) }−2Im⁡( Γ ˙ н )=0; [ Re⁡( Γ ˙ н )−1 ] 2 + Im⁡ 2 ( Γ ˙ н )− 2Im⁡( Γ ˙ н ) x ^ н + 1 x ^ н 2 − 1 x ^ н 2 =0; [ Re⁡( Γ ˙ н )−1 ] 2 + [ Im⁡( Γ ˙ н )− 1 x ^ н ] 2 = 1 x ^ н 2 .

Выражение показывает, что на комплексной плоскости Γн все возможные реактивности с нормализованным значением x ^ н находятся на круге с радиусом [1/ x ^ н ] и центром в точке [1,±1/ x ^ н ] . Поскольку нормализованная реактивность изменяется от минус до плюс бесконечности, то мы получаем семейство дуг (рис. 2), содержащихся внутри области для коэффициента отражения |Γн| < 1.

Рис. 2

Полученные соотношения позволяют производить простой пересчёт сопротивлений, проводимостей и коэффициентов отражения в линиях передачи.

Описанный процесс формирования окружностей - это по сути дела преобразование прямоугольной системы координат в полярную, которое демонстрируется ниже в видеосюжете от Hewlett Packard (сейчас Agilent Technologies).

Визуализация процесса преобразования прямоугольной системы координат в круговую.

Представленная ниже интерактивная программа позволит Вам приобрести навыки работы с круговой диаграммой и проверить себя на предлагаемых заданиях по определению параметров полных проводимостей, сопротивлений и коэффициентов отражений.

Выполнить задание

Пошаговая анимация:

1 шаг. Нормируем полное сопротивление: Z=(25+j100)/50=0,5+j2,0

2 шаг. Находим окружность резистанса: r=0,5

3 шаг. Находим дугу реактанса: x=2,0

4 шаг. Находим вектор коэффициента отражения: Г=0,52+j0,64; |Г| = 0,825 и α=50,91°

Обучение

Задание:

Для получения задания нажмите кнопку 'Новая точка'!

Введите нормированные значения полной проводимости для изображённой на диаграмме точки, характеризующей нагрузку. Дробная часть вводится через точку!

Введите нормированные значения полного сопротивления для изображённой на диаграмме точки, характеризующей нагрузку. Дробная часть вводится через точку!

Введите значения коэффициента отражения для изображённой на диаграмме точки, характеризующей нагрузку. Дробная часть вводится через точку!

Новая точка

Re:

Im:

Проверить ответ

Ниже в анимации показана процедура согласования 50-Оммного источника сигнала с комплексной нагрузкой с помощью двухэлементной СЦ.

Процедура согласования с помощью диаграммы Вольперта-Смита. Для демонстрации нажимать кнопку "Пошаговая анимация"

Качество согласования нагрузки с линией передачи можно оценить с помощью коэффициента стоячей волны по напряжению (КСВН), равному отношению наибольшего вдоль линии значения амплитуды напряжения к его наименьшему значению.

Применение круговой диаграммы для этой цели демонстрирует представленный ниже скрипт.

Выполнить задание

Пошаговая анимация:

1 шаг. Определяем местоположение нагрузочной точки на диаграмме

2 шаг. Находим окружность равного коэффициента отражения, проходящую через нагрузочную точку

3 шаг. Перемещаемся по дуге окружности по часовой стрелке до пересечения с положительной действительной полуосью.

4 шаг. Находим точку пересечения с положительной действительной полуосью - точку максимума напряжения волны. Реактивная составляющая в этой точке равна нулю

5 шаг. Находим окружность активного сопротивления, касающуюся окружности коэффициента отражения на действительной положительной полуоси. Соответствующее ей значение нормированного сопротивления равно коэффициенту стоячей волны.

Обучение

Задание:

Введите значение коэффициента стоячей волны напряжения (КСВН) для изображённой на диаграмме точки, характеризующей нагрузку. Дробная часть вводится через точку!

Новая точка

КСВН:

Проверить ответ