Серия "Интерактивные учебные пособия"

Цифровые виды модуляции

Описание

Электронное учебное пособие в формате EPUB-3. Версия от 30.05.2017 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры ИРТ БГУИР. Пособие предназначено для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Для корректного отображения формул в MathML и элементов HTML5 рекомендуется персональный компьютер с ОС Windows и программным ридером AZARDI.

Цифровые виды модуляции

Передаваемый сигнал можно представить в следующем виде:

s(t)=cos⁡( 2π f c t+ θ k )=cos⁡ θ k ⋅cos⁡(2π f c t)−sin⁡ θ k ⋅sin⁡(2π f c t)= = a k cos⁡(2π f c t)− b k sin⁡(2π f c t)=Re⁡[ ( a k +j b k ) e j ω c t ] ,

т.е. сигнал представляет собой несущее колебание e j2π f c t с амплитудой, определяемой комплексными модуляционными коэффициентами с k = a k +j b k .

Этот же сигнал также может быть представлен в комплексном виде:

Z = I + j Q, или

Z= A m ⋅ e j( 2π f c t+ θ k ) ,

где: A m = Q 2 +I 2 — амплитуда модулированного сигнала; θk=arctg(Q/I) — фаза модулированного сигнала; Im = ak, Qm = bk.

Таким образом, передаваемая информация может кодироваться одновременными изменениями амплитуды и фазы несущего колебания. Это происходит при использовании квадратурной амплитудной модуляции (QAM - Quadrature Amplitude Modulation).

Рис. 1 - Принцип формирования сигнала QAM

На рис. 1 представлен принцип формирования результирующего колебания Zm путём суммирования вектора квадратурной составляющей Qm ("Quadrature" — Q) с вектором синфазной составляющей Im ("In phase" — I).

Поскольку в каждом канале осуществляется амплитудная манипуляция, этот вид модуляции иначе называют квадратурной манипуляцией с изменением амплитуды (Quadrature Amplitude Shift Keying, QASK)

Точки расположения окончаний векторов модулированного колебания образуют прямоугольную сетку на фазовой плоскости действительной — Re{Z} и мнимой составляющей вектора модулированного сигнала — Im{Z}. Число узлов этой сетки определяется типом используемого алгоритма QAM. Схему расположения узлов на фазовой плоскости модулированного QAM колебания принято называть сигнальным созвездием (constellation).

Для указания типа алгоритма QAM принята следующая схема обозначения: QAM — <число>. Число обычно представляет собой значение вида 2N и соответствует количеству узлов на фазовой сетке, а также максимальному количеству различных значений вектора модулированного сигнала. Значение N соответствует числу битов входной последовательности данных, формирующих один передаваемый символ.

На рис. 2,a представлено расположение векторов модулированного колебания — созвездие для QAM—16. Цифрами отмечены значения модуляционных символов, которым соответствуют указанные точки на фазовой плоскости модулированного колебания {m₃, m₂, m₁, m₀}.

а

б

Рис. 2 - Созвездие QAM-16

Для алгоритма QAM-16 пара {m₃, m₂} определяет номер квадранта фазовой плоскости или знаки реальной и мнимой координаты вектора модулированного колебания:

00 Sign(Re{Z})= 1, Sign(Im{Z})= 1,

10 Sign(Re{Z})= 1, Sign(Im{Z})= –1,

01 Sign(Re{Z})= –1, Sign(Im{Z})= 1,

11 Sign(Re{Z})= –1, Sign(Im{Z})= –1.

Пара {m₁, m₀} определяет значения амплитуды реальной и мнимой координаты вектора модулированного колебания соответственно.

Преобразование модуляционных символов в кодовые символы чаще всего выполняется с применением алгоритмов Грея для помехоустойчивого кодирования данных (рис. 2,б). Векторам модулированного колебания, которые находятся близко один от другого на фазовой плоскости, ставятся в соответствие значения кодовых символов, которые отличаются значениями только одного бита.

В настоящее время наибольшее распространение получили несколько вариантов QAM: QAM-4, QAM-16, QAM-32, QAM-64, QAM-128 и QAM-256.

При фазовой манипуляции созвездие располагается по окружности. На рис. 3 представлены созвездия для M-PSK c M=2 (Binary PSK - BPSK), 4 (Quadrature PSK - QPSK), 8 и 16.

Рис. 3

Ниже в анимации поясняется как с увеличением числа битов входной последовательности усложняется сигнальное созвездие на фазовой плоскости.

Формирование сигнального созвездия QAM. Для визуализации нажимать последовательно кнопку "Анимация"

При M-уровневой амплитудной модуляции (M-PAM – Pulse Amplitude Modulation) созвездие вырождается в прямую линию (рис. 4).

Рис. 4

Модель канала связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) представлена на рис. 5.

Рис. 5 – Модель канала с АБГШ

Шум в канале представляется действительной nRe(t) и мнимой nIm(t) квадратурными составляющими.

Генераторы случайных чисел обычно формируют последовательности, которые равномерно заполняют некоторый заранее выбранный диапазон значений. На практике шумы подчиняются нормальному (гауссовскому) распределению плотности вероятности.

Для формирования гауссовского распределения амплитуд применим метод Бокса-Мюллера, согласно которому

n Re⁡ (t)= − σ 2 ln⁡ x 1 ⋅cos⁡(2π x 2 ); n Im⁡ (t)= − σ 2 ln⁡ x 1 ⋅sin⁡(2π x 2 );

где σ² - дисперсия шума, x₁ и x₂ – случайные величины с равномерным распределением амплитуд в диапазоне от нуля до единицы.

Расчёт вероятности ошибки для QAM

Рассмотрим простой случай передачи двоичных сигналов (BPSK).

Передаваемые двоичные цифры 1 и 0 представляются аналоговыми уровнями S 1 =+ E b и S 0 =− E b , соответственно (рис. 6). Параметр Eb представляет собой мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом или энергию бита информации.

Рис. 6 – Диаграмма состояний 2-QAM

В канале связи сигналы подвергаются воздействию АБГШ, т.е. принимаемый сигнал – это либо y=S₁+n, либо y=S₀+n. Распределение условных вероятностей y при передаче сигналов определяется выражениями:

p(y| S 0 )= 1 π N o ⋅ e − (y− E b ) 2 N o ,

p(y| S 1 )= 1 π N o ⋅ e − (y+ E b ) 2 N o ,

где No – спектральная плотность белого шума. Она связана с дисперсией соотношением

σ 2 = N o /2 .

Приёмник при декодировании руководствуется правилом: если y>0, то принят сигнал 1, если y≤0, то принят сигнал 0.

Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита Pb от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума Eb/N₀. При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения Eb/N₀ вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать m бит). Параметр Eb/N₀ характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит. Заметим, что в данном случае энергия бита совпадает с энергией передаваемого символа, т.к. он состоит из одного бита.

Связь между S/N и Eb/N₀ устанавливается соотношением

S N = E s / T s N o ΔF = E s R s N o ΔF = E b m R s N o ΔF .

где Ts - время передачи символа, N - мощность шума, Rs - скорость передачи символов, ΔF - ширина полосы.

Рис. 7 – Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM

Вероятность ошибки приёма S₁ определяется площадью под кривой плотности распределения p(y| s 1 ) (рис. 7):

p(e| s 1 )= 1 π N o ∫ −∞ 0 e − (y− E b ) 2 N o dy = = 1 π ∫ E b N o ∞ e − z 2 dz= 1 2 erfc( E b N o ) ,

где

erfc( x )= 2 π ∫ x ∞ e − x 2 dx

представляет собой дополнительную функцию ошибок.

Вероятность ошибки приёма S₀ определяется площадью под кривой плотности распределения p(y| s 0 ) :

p(e| s 0 )= 1 π N o ∫ 0 ∞ e − (y+ E b ) 2 N o dy = = 1 π ∫ E b N o ∞ e − z 2 dz= 1 2 erfc( E b N o ) .

Полная вероятность символьной ошибки (SER - Symbol Error) (в данном случае совпадающая с вероятностью битовой ошибки BER – Bit Error) ошибки равна

P b =p( s 1 )p(e| s 1 )+p( s 0 )p(e| s 0 ) ,

где p( s 1 )иp( s 0 ) - вероятности передачи сигналов.

Предполагая появление сигналов равновероятным: p( s 1 )=p( s 0 )=1/2 , получаем, что вероятность ошибки равна

P b = 1 2 [ 1 2 erfc( E b N o )+ 1 2 erfc( E b N o ) ]= = 1 2 erfc( E b N o )=Q( 2 E b N o ) .

На рис. 8 представлены результаты прохождения сигналов 2-QAM через канал для случая равномерного (рис. 8,а) и нормального (рис. 8,б) распределения шумов.

а

б

Рис. 8

Для равномерного распределения нет составляющих с амплитудой, превышающей границы окружности, охватывающей шумовую область. Видно резкое падение их числа за условной границей области.

В случае нормального распределения число точек с амплитудой, приближающейся к границе шумовой области, значительно сокращается, но присутствуют и точки с амплитудой, превышающей условную границу. При одинаковом числе точек (n=2000) закон нормального распределения точнее описывает реальную шумовую ситуацию в канале передачи.

Графики зависимостей вероятности битовой ошибки от величины отношения сигнал/шум для M-QAM при M=2, 4, 16, 64, 256, 1024 представлены на рис. 9.

Рис. 9 – Графики вероятности BER

Формированию сигнального созвездия (диаграммы) QAM и расчёту вероятностей ошибочного приёма посвящён представленный ниже интерактивный скрипт.

Предусмотрено два режима работы: 1) упорядоченной двоичной последовательности, при котором формируется полное сигнальное созвездие; 2) случайной двоичной последовательности, при котором длина последовательности задаётся.

Для режима случайной последовательности:

1) вначале необходимо выбрать вид QAM, для чего из выпадающего списка выбрать значение числа передаваемых бит последовательности на один символ; 2) затем следует задать и ввести в текстовое окно количество бит в передаваемой последовательности двоичных чисел; 3) на следующем шаге с помощью ползунка задать значение отношения сигнал/шум; 4) нажать кнопку "Формировать двоичные данные".

Чёрным цветом отображаются состояния сигнала, какими они должны быть в сигнальном созвездии. Зелёным цветом отображаются состояния принятого сигнала с допустимой ошибкой. Красным цветом отображаются состояния ошибочно принятого сигнала.

Сигнальное созвездие

Упорядоченные данные
Случайные данные

Передано, символов Ошибочно принято, символов

Es/N₀[дБ] Eb/N₀ [дБ]

BER SER

Отношение с/ш [дБ]35.3
Вид QAM (bit/symbol)

1

2

4

6

8

10

Длина данных, бит

В системах связи ошибки вызваны изменениями фазы сигналов, которые обусловлены эффектом дрожания фронта импульсного сигнала, относительно синхроимпульсов - джиттером (от англ. "jitter"). Даже относительно малые амплитуды джиттера могут вызвать битовые ошибки.

В настоящее время разработан метод вычисления BER с помощью, так называемой глаз-диаграммы (или глазковой диаграммы) путём измерения Q-фактора. Q-фактор определяется путём статистической обработки результатов измерения амплитуды и фазы сигнала непосредственно по глаз-диаграмме (см. рис. 10):

Q= | U 1 − U 0 | σ 1 + σ 0 ,

где U1 и U2 - математические ожидания, или средние значения, состояний «1» и «0»;

σ1 и σ0 - их среднеквадратические отклонения.

Рис. 10 – Глазковая диаграмма

При этом коэффициент ошибок BER для двухуровневого сигнала пропорционален площади пересечения двух функций распределения состояний «1» и «0»:

BER= P b = 1 2 erfc( | U− U 0 | σ 0 )+ 1 2 erfc( | U− U 1 | σ 1 ),

где U – порог принятия решения.

При x>3 функцию erfc(x) можно приближённо вычислить по формуле:

erfc(x)≈ 1 x 2π exp⁡( − x 2 2 ).

В этом случае порог принятия решения, при котором значение BER минимально, равен

U min⁡ = U 1 ⋅ σ 0 + U 0 ⋅ σ 1 σ 1 + σ 0

и делит зону ошибок на две равные части.

Сам коэффициент ошибок можно определить по формуле:

BER= P b = 1 2 erfc( Q 2 )≈ 1 Q 2 exp⁡( − Q 2 2 ).

Современные высокоскоростные цифровые записывающие осциллографы реального масштаба времени (digital storage oscilloscopes - DSO) являются наиболее универсальными, гибкими и широко используемыми инструментами для анализа джиттера с помощью глазковой диаграммы.

Формированию глазковой диаграммы посвящён представленный ниже интерактивный скрипт.

Режим "Импульсная характеристика+сигнал" означает вывод графика импульсной характеристики формирующего фильтра в верхнем графическом окне и полученной в результате обработки импульсной последовательности передаваемого сигнала - в нижнем. Режим "Сигнал+глаз-диаграмма" означает вывод графика импульсной последовательности передаваемого сигнала в верхнем графическом окне и сформированной "глаз-диаграммы" - в нижнем. На графике передаваемого сигнала светло-зелёным цветом отображаются смещённые во времени импульсные характеристики формирующего фильтра.

При нажатии кнопки "Расчёт" формируется случайная последовательность из 20 импульсов. Для улучшения статистической достоверности предусмотрена возможность накопить результат для построения глаз-диаграммы при большем числе импульсов, включая режим "Накопить результат".

Виды модуляции "BPSK" и "QPSK" соответствуют двухуровневым и четырёхуровневым импульсам, соответственно. По характерному виду импульсной характеристики доступны следующие разновидности формирующих фильтров: приподнятый косинус (фильтр Найквиста), корень из приподнятого косинуса, треугольник и прямоугольник. Параметр "alpha" - коэффициент сглаживания АЧХ (rolloff factor), принимает значения от "0" до "1".

Импульсная характеристика+сигналСигнал+глаз-диаграмма |
Вид модуляции сигнала:BPSKQPSK
Добавить шум:0
Накопить результат
Параметры импульсной характеристики:
alpha=0
Приподнятый косинус | Корень из косинуса
Треугольник | Прямоугольник