Описание

Электронная книга в формате  EPUB-3. Версия от 30.05.2018 г. Разработчик - Курочкин А.Е., доцент кафедры  ИРТ БГУИР. Предназначена для студентов факультета радиотехники и электроники, изучающих классические радиоприёмные устройства.

Переформатирование файла электронной книги в другие форматы (DOC, TXT, FB2 и т.д.) из-за особенностей  EPUB-3 и  MathML нежелательны. Для чтения электронной книги рекомендуется персональный компьютер с  ОС Windows и программным ридером  AZARDI.

Расчёт вероятности ошибки приёма цифровых сигналов

1 Модель канала связи

2 Расчёт вероятности ошибки при передаче двоичных сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

3 Расчёт сигнального созвездия QAM

4 Расчёт средней энергии сигналов созвездия M-QAM

5 Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM

6 Расчёт вероятности ошибки для 16-QAM

7 Интерактивный скрипт "Формированиe сигнального созвездия QAM"

8 Применение формирующих фильтров и оконных функций

9 Глаз-диаграмма

10 Интерактивный скрипт "Глазковая диаграмма"

Литература

1 Модель канала связи

В канале связи на передаваемые сигналы воздействуют помехи. В качестве модели помех чаще всего используется белый гауссовский шум (АБГШ, англ. AWGN) — вид мешающего воздействия в канале передачи информации. Этот вид помехи характеризуется равномерной, то есть одинаковой на всех частотах, спектральной плотностью мощности, нормально распределёнными временными значениями и аддитивным способом воздействия на сигнал. Шум в канале представляется действительной nRe(t) и мнимой nIm(t) квадратурными составляющими.

Модель канала связи с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ)  [1] представлена на рис. 1.

Рис. 1 – Модель канала с АБГШ

Генераторы случайных чисел обычно формируют последовательности, которые равномерно заполняют некоторый заранее выбранный диапазон значений. На практике шумы подчиняются нормальному (гауссовскому) распределению плотности вероятности.

Для формирования гауссовского распределения амплитуд применяется метод Бокса-Мюллера [2], согласно которому

n Re⁡ (t)= − σ 2 ln⁡ x 1 ⋅cos⁡(2π x 2 ); n Im⁡ (t)= − σ 2 ln⁡ x 1 ⋅sin⁡(2π x 2 );

где σ² - дисперсия шума, x₁ и x₂ – случайные величины с равномерным распределением амплитуд в диапазоне от нуля до единицы.

2 Расчёт вероятности ошибки при передаче двоичных сигналов в канале с аддитивным белым гауссовским шумом

Функция плотности вероятности гауссовской или нормально-распределённой случайной величины определяется формулой

p(x)= 1 2π σ 2 e − (x− m x ) 2 /2 σ 2 ,

где mx – математическое ожидание.

Интегральная функция распределения ошибки равна

K(x)= ∫ −∞ x p(u) du= =1/( 2π σ 2 ) ∫ −∞ x e − (u− m x ) 2 /2 σ 2 du=

= 1 2 ∙ 2 π ∫ −∞ (x− m x )/ 2 σ e − t 2 dt= = 1 2 + 1 2 erf( x− m x 2 σ ),

где erf(x) – функция ошибок Лапласа, определяемая выражением

erf(x)= 2 π ∫ 0 x e − t 2 dt .

Интегральная функция распределения выражается также через дополнительную функцию ошибок erfc(x):

K(x)= 1 2 − 1 2 erfc( x− m x 2 σ ),

где

erfc(x)= 2 π ∫ x ∞ e − t 2 dt=1−erf(x) .

Функция, которая используется для определения площади под частью гауссовской функции плотности вероятности, называется гауссовским интегралом ошибок:

Q(x)= 1 2 erfc( x 2 ) .

Для расчёта интеграла применим метод приближённого расчёта

Q(x)≈f(x) ∑ i=1 5 a i ( 1 1+ a 0 ) i ,

где f(x)=(1/ 2π )exp⁡(− x 2 /2) , a₀=0.2316419, a₁=0.31938153, a₂=–0.356563782, a₃=1.781477937, a₄=–1.821255978 , a₅=1.330274429. Погрешность расчёта не превышает значения 1⋅ 10 −7 .

3 Расчёт сигнального созвездия QAM

Сигнальное созвездие (англ. constellation diagram) — это способ представления дискретных значений комплексной амплитуды манипулированных радиосигналов на комплексной плоскости. Значения комплексной амплитуды радиосигнала представляются в виде точек на двухмерной точечной диаграмме на комплексной плоскости. Цифровые сигналы квадратурной амплитудной модуляции (Quadrature Amplitude Modulation, QAM)описываются следующим выражением:

s i (t)= s i1 φ 1 (t)+ s i2 φ 2 (t) ,

где φ₁(t), φ₂(t) - две ортонормированные функции, заданные на интервале [0,T] и определяющие форму сигнала, i =0,1,…, q–1.

Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение. Система ортогональных функций после нормировки, т.е. деления всех функций на их норму превращается в ортонормированную. Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов. При спектральном анализе сигналов в качестве ортонормированной используют синус-косинусной систему гармонических функций.

Величины Si₁ и Si₂ для сигналов КАМ принимают дискретные значения равномерно расположенные в некотором конечном интервале. Они могут рассматриваться как амплитудные множители при функциях φ₁(t), φ₂(t), поэтому сигнал КАМ представляет собой сумму двух ортогональных АМ сигналов.

Будем считать, что q=2m , где m - целое число; m может рассматриваться как число бит переносимых сигналом (при отсутствии кодирования). Положим для начала, что m=2k, k - целое число. Тогда q = 2 k тоже целое. Поставим в соответствие номеру сигнала i , i= 0,1,…, q–1, пару целых i₁ и i₂: i₁, i₂ = 0,1,…, q −1 , по правилу i= i 1 q + i 2 . Иначе говоря, i₁, i₂ - это цифры в q -ичном представлении числа i. Положим, что

S i1 =A( 1− 2 i 1 q −1 ), S i2 =A( 1− 2 i 2 q −1 ),

где A - максимальное абсолютное значение величин Si1 и Si2 . Очевидно, что значения величин Si1 и Si2 расположены с равномерным шагом в интервале [–A, A].

Для модуляции 16-QAM принимаем q=16. В соответствии с тем, что максимальный номера сигнала равен imax=q–1, представим сигналы последовательностью чисел:

i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Рассчитываем пары чисел i₁ и i₂, удовлетворяющие условию i=4 i 1 + i 2 и принадлежащие диапазону 0,1,…, q −1 = 0, 1, 2, 3:

i = 0: i₁ = 0; i 2 =i−4 i 1 = 0,

i = 1: i₁ = 0; i 2 =1−4⋅0=1 ,

i = 2: i₁ = 0; i 2 =2−4⋅0=2 ,

i = 3: i₁ = 0; i 2 =3−4⋅0=3 ,

i = 4: i₁ = 1; i 2 =4−4⋅1=0 ,

i = 5: i₁ = 1; i 2 =5−4⋅1=1 ,

i = 6: i₁ = 1; i 2 =6−4⋅1=2 ,

i = 7: i₁ = 1; i 2 =7−4⋅1=3 ,

i = 8: i₁ = 2; i 2 =8−4⋅2=0 ,

i = 9: i₁ = 2; i 2 =9−4⋅2=1 ,

i = 10: i₁ = 2; i 2 =10−4⋅2=2 ,

i = 11: i₁ = 2; i 2 =11−4⋅2=3 ,

i = 12: i₁ = 3; i 2 =12−4⋅3=0 ,

i = 13: i₁ = 3; i 2 =13−4⋅3=1 ,

i = 14: i₁ = 3; i 2 =14−4⋅3=2 ,

i = 15: i₁ = 3; i 2 =15−4⋅3=3 .

Рассчитываем значения квадратурных составляющих сигналов, приняв амплитуду A= q −1= 16 −1=3 :

i₁ =0 и i₂=0

S 11 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅0 )=3, S 12 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅0 )=3,

i₁ =0 и i₂=1

S 21 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅0 )=3, S 22 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅1 )=1,

i₁ =0 и i₂=2

S 31 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅0 )=3,

S 32 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1,

i₁ =0 и i₂=3

S 41 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅0 )=3, S 42 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3,

i₁ =1 и i₂=0

S 51 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅1 )=1, S 52 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅0 )=3,

i₁ =1 и i₂=1

S 61 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅1 )=1, S 62 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅1 )=1,

i₁ =1 и i₂=2

S 71 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅1 )=1, S 73 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1,

i₁ =1 и i₂=3

S 81 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅1 )=1, S 82 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3,

i₁ =2 и i₂=0

S 91 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1, S 92 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅0 )=3,

i₁ =2 и i₂=1

S 101 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1, S 102 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅1 )=1,

i₁ =2 и i₂=2

S 111 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1, S 112 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1,

i₁ =2 и i₂=3

S 121 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1, S 122 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3,

i₁ =3 и i₂=0

S 131 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3, S 132 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅0 )=3,

i₁ =3 и i₂=1

S 141 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3,

S 142 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅1 )=1,

i₁ =3 и i₂=2

S 151 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3, S 152 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅2 )=−1,

i₁ =3 и i₂=3

S 161 =( q −1−2 i 1 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3, S 162 =( q −1−2 i 2 )=( 16 −1−2⋅3 )=−3.

Конструируем сигнальное созвездие (рис. 2)

Рис. 2 – Созвездие 16QAM

4 Расчёт средней энергии сигналов созвездия M-QAM

Средняя энергия сигналов созвездия определяется в соответствии с выражением

E ¯ = A 2 q ∑ i=0 q−1 E i = A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 ∑ i 2 =0 q −1 [ ( 1− 2 i 1 q −1 ) 2 + ( 1− 2 i 2 q −1 ) 2 ]

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 ∑ i 2 =0 q −1 [ ( 1− 4 i 1 q −1 + 4 i 1 2 ( q −1) 2 )+ + ( 1− 4 i 2 q −1 + 4 i 2 2 ( q −1) 2 ) ]=

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ ∑ i 2 =0 q −1 1 − ∑ i 2 =0 q −1 4 i 1 q −1 + ∑ i 2 =0 q −1 4 i 1 2 ( q −1) 2 + + ∑ i 2 =0 q −1 1 − ∑ i 2 =0 q −1 4 i 2 q −1 + ∑ i 2 =0 q −1 4 i 2 2 ( q −1) 2 ]=

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ 2 q − 4 q −1 ∑ i 2 =0 q −1 ( i 1 + i 2 )+ + 4 ( q −1) 2 ∑ i 2 =0 q −1 ( i 1 2 + i 2 2 ) ]=

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ 2 q − 4 q i 1 q −1 − 4 q −1 ∑ i 2 =0 q −1 i 2 + + 4 q i 1 2 ( q −1) 2 + 4 ( q −1) 2 ∑ i 2 =0 q −1 i 2 2 ] .

Используя тождества

∑ i=0 k i= k(k+1) 2

и ∑ i=0 k i 2 = k(k+1)(2k+1) 6

получаем

E ¯ = A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ 2 q − 4 q i 1 q −1 − 4 q ( q −1) 2( q −1) + + 4 q i 1 2 ( q −1) 2 + 4 q ( q −1)(2 q −1) 6 ( q −1) 2 ]=

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ 4 q i 1 2 ( q −1) 2 − 4 q i 1 q −1 + 2 q (2 q −1) 3( q −1) ] =

= A 2 q ∑ i 1 =0 q −1 [ 4 ( q ) 2 ( q −1)(2 q −1) 6 ( q −1) 2 − − 4 ( q ) 2 ( q −1) 2( q −1) + 2 ( q ) 2 (2 q −1) 3( q −1) ]=

= A 2 q ( 4q(2 q −1) 3( q −1) −2q )=( 4(2 q −1)−6( q −1) 3( q −1) )= = 8 q −4−6 q +6 3( q −1) = 2 A 2 ( q +1) 3( q −1) .

Максимальная амплитуда сигналов определяется минимальным расстоянием ∆ между ними

A max⁡ = Δ 2 i 1max⁡ = Δ 2 i 2max⁡ = Δ 2 ( q −1) ,

тогда

E ¯ = Δ 2 6 (q−1) .

Для различного числа узлов созвездий при ∆=2 средняя энергия составляет:

q=4: E ¯ = 2 2 6 (4−1)=2 ;

q=16: E ¯ = 2 2 6 (16−1)=10 ;

q=64: E ¯ = 2 2 6 (64−1)=42 ;

q=256: E ¯ = 2 2 6 (256−1)=170 ;

q=1024: E ¯ = 2 2 6 (1024−1)=682 .

Каждой точке сигнального созвездия ставится в соответствие комбинация модуляционного кода, которая при передаче формируется из передаваемой двоичной последовательности. При воздействии шума в канале связи конец суммарного вектора может оказаться далеко за пределами допустимой для принятия решения области для передаваемой комбинации символов, и тогда принимается ложное решение о приёме сигнала. Вследствие этого при приёме появляется одиночная ошибка в принятом коде (рис. 3).

Рис. 3

5 Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM [3]

Рассмотрим простой случай передачи двоичных сигналов.

Передаваемые двоичные цифры 1 и 0 представляются аналоговыми уровнями S 1 =+ E b и S 0 =− E b , соответственно (рис. 4). Параметр Eb представляет собой мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом или энергию бита информации.

Рис. 4 – Диаграмма состояний 2-QAM

В канале связи сигналы подвергаются воздействию АБГШ, т.е. принимаемый сигнал – это либо y=S₁+n, либо y=S₀+n. Распределение условных вероятностей y при передаче сигналов определяется выражениями:

p(y| S 0 )= 1 π N o ⋅ e − (y− E b ) 2 N o ,

p(y| S 1 )= 1 π N o ⋅ e − (y+ E b ) 2 N o ,

где No – спектральная плотность белого шума. Она связана с дисперсией соотношением

σ 2 = N o /2 .

Приёмник при декодировании руководствуется правилом: если y>0, то принят сигнал 1, если y≤0, то принят сигнал 0.

Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита Pb от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума Eb/N₀. При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения Eb/N₀ вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать m бит). Параметр Eb/N₀ характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит. Заметим, что в данном случае энергия бита совпадает с энергией передаваемого символа, т.к. он состоит из одного бита.

Связь между S/N и Eb/N₀ устанавливается соотношением

S N = E s / T s N o ΔF = E s R s N o ΔF = E b m R s N o ΔF .

где Ts - время передачи символа, N - мощность шума, Rs - скорость передачи символов, ΔF - ширина полосы.

Рис. 5 – Расчёт вероятности ошибки для 2-QAM

Вероятность ошибки приёма S₁ определяется площадью под кривой плотности распределения p(y| s 1 ) (рис. 5):

p(e| s 1 )= 1 π N o ∫ −∞ 0 e − (y− E b ) 2 N o dy = = 1 π ∫ E b N o ∞ e − z 2 dz= 1 2 erfc( E b N o ) ,

где

erfc( x )= 2 π ∫ x ∞ e − x 2 dx

представляет собой дополнительную функцию ошибок.

Вероятность ошибки приёма S₀ определяется площадью под кривой плотности распределения p(y| s 0 ) :

p(e| s 0 )= 1 π N o ∫ 0 ∞ e − (y+ E b ) 2 N o dy = = 1 π ∫ E b N o ∞ e − z 2 dz= 1 2 erfc( E b N o ) .

Полная вероятность символьной ошибки (SER - Symbol Error) (в данном случае совпадающая с вероятностью битовой ошибки BER – Bit Error) ошибки равна

P b =p( s 1 )p(e| s 1 )+p( s 0 )p(e| s 0 ) ,

где p( s 1 )иp( s 0 ) - вероятности передачи сигналов.

Предполагая появление сигналов равновероятным: p( s 1 )=p( s 0 )=1/2 , получаем, что вероятность ошибки равна

P b = 1 2 [ 1 2 erfc( E b N o )+ 1 2 erfc( E b N o ) ]= = 1 2 erfc( E b N o )=Q( 2 E b N o ) .

На рис. 6 представлены результаты прохождения сигналов 2-QAM через канал для случая равномерного (рис. 6,а) и нормального (рис. 6,б) распределения шумов.

а

б

Рис. 6

Для равномерного распределения нет составляющих с амплитудой, превышающей границы окружности, охватывающей шумовую область. Видно резкое падение их числа за условной границей области.

В случае нормального распределения число точек с амплитудой, приближающейся к границе шумовой области, значительно сокращается, но присутствуют и точки с амплитудой, превышающей условную границу. При одинаковом числе точек (n=2000) закон нормального распределения точнее описывает реальную шумовую ситуацию в канале передачи.

Результаты расчёта вероятности символьной (битовой) ошибки представлены в табл. 1.

Таблица 1

Es/No, дБ

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

6

8

10

SER

0,159

0,131

0,1

0,079

0,056

0,038

0,023

0,0126

0,0024

1,9Е–4

4Е–6

BER

0,159

0,131

0,1

0,079

0,056

0,038

0,023

0,0126

0,0024

1,9Е–4

4Е–6

6 Расчёт вероятности ошибки для 16-QAM [4]

Средняя энергия созвездия E=10, поэтому нормируем все сигналы: Es/10.

Рис. 7 – Расчёт вероятности ошибки для действительных и мнимых составляющих сигналов S₃, S₆, S₇

Анализ сигнального созвездия на рис. 7 позволяет сделать вывод, что все сигналы можно распределить на три группы:

1) сигналы внутри квадратной области, ограниченной пунктирными линиями в количестве ( q −2 ) 2 = ( 16 −2 ) 2 =4 (S₅, S₆, S₉, S₁₀);

2) четыре сигнала по углам диаграммы (S₀, S₃, S₁₂, S₁₅,);

3) сигналы на внешней границе диаграммы (кроме угловых сигналов) в количестве 4⋅( q −2 )=4⋅( 16 −2 )=8 (S₄…S₁₁).

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₆, который входит в первую группу, определится в соответствии с выражением

p(y| S 6 )= 1 π N o ⋅ e − ( y− E s 10 −j [ E s 10 ] ) 2 N o .

Сигнал будет принят без ошибки, если

p(r| S 6 )=p( Re⁡[ y ]>0,Re⁡[ y ]<2 [ E s 10 ] | S 6 )× ×p( Im⁡[ y ]>0,Im⁡[ y ]<2 [ E s 10 ] | S 6 ) ,

где

p(Re⁡ y>0,Re⁡ y<2 [ E s 10 ] | S 6 )=

=1− [ 1 π N o ∫ −∞ 0 e − ( Re⁡y− E s 10 ) 2 N o dy + + 1 π N o ∫ 2 [ E s 10 ] ∞ e − ( Re⁡y− E s 10 ) 2 N o dy ]=

=1−erfc( E s 10 N o ),

p(Im⁡ y>0, Im⁡ y<2 [ E s 10 ] | S 6 )=

=1− [ 1 π N o ∫ −∞ 0 e − ( Im⁡ y− E s 10 ) 2 N o dy + + 1 π N o ∫ 2 [ E s 10 ] ∞ e − ( Im⁡ y− E s 10 ) 2 N o dy ]=

=1−erfc( E s 10 N o ) .

Вероятность правильного приёма S₆ равна

p(r| S 6 )= [ 1−erfc( E s 10 N o ) ] 2 .

Вероятность ошибки приёма S₆ равна

p(e| S 6 )= 1− p(r| S 6 )=1− [ 1−erfc( E s 10 N o ) ] 2 = =1− [ 1−2Q( E s 5 N o ) ] 2 .

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₃, который входит во вторую группу, определится в соответствии с выражением

p(y| S 3 )= 1 π N o e − ( y−3[ E s 10 ]−j3[ E s 10 ] ) 2 N o .

Сигнал будет принят без ошибки, если

p(r| S 3 )=p[ Re⁡ y>2( E s 10 | S 3 ) ]⋅p[ Im⁡ y>2( E s 10 | S 3 ) ],

где

p( Re⁡y>2[ E s 10 | S 3 ] )=1− 1 π N o ∫ −∞ 2( E s 10 ) e − ( Re⁡y−3[ E s 10 ] ) 2 N o dy = =1− 1 2 erfc( E s 10 N o ),

p(Im⁡ y>2 [ E s 10 ] | S 3 )=1− 1 π N o ∫ −∞ 2 [ E s 10 ] e − ( Im⁡y−3 [ E s 10 ] ) 2 N o dy = =1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) .

Вероятность правильного приёма S₃ равна

p(r| S 3 )= [ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ] 2 .

Вероятность ошибки приёма S₃ равна

p(e| S 3 )= 1− p(r| S 3 )=1− [ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ] 2 = =1− [ 1−Q( E s 5 N o ) ] 2 .

Распределение условной вероятности y при передаче сигнала S₇, который входит в третью группу, определится в соответствии с выражением

p(y| s 7 )= 1 π N o e − ( y−3[ E s 10 ]−j[ E s 10 ] ) 2 N o .

Сигнал будет принят без ошибки, если

p(r| S 7 )=p( Re⁡ y>2 [ E s 10 ] | S 7 )× ×p( Im⁡ y>0,Im⁡ y<2 [ E s 10 ] | S 7 ) ,

где

p(Re⁡ y>2 [ E s 10 ] | S 7 )=1− 1 π N o ∫ −∞ 2 [ E s 10 ] e − ( Re⁡ y−3 [ E s 10 ] ) 2 N o dy = =1− 1 2 erfc( E s 10 N o ),

p(Im⁡ y>0,Im⁡ y<2 [ E s 10 ] | s 7 )=

=1− [ 1 π N o ∫ −∞ 0 e - ( Im⁡ y- E s 10 ) 2 N o dy + + 1 π N o ∫ 2 [ E s 10 ] ∞ e - ( Im⁡ y- E s 10 ) 2 N o dy ]=

=1−erfc( E s 10 N o ).

Вероятность правильного приёма S₇ равна

p(r| S 7 )=[ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ]⋅[ 1−erfc( E s 10 N o ) ] .

Вероятность ошибки приёма S₇ равна

p(e| S 7 )= 1− p(r| S 7 )= =1−[ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ]⋅[ 1−erfc( E s 10 N o ) ].

Вероятность символьной ошибки для всего набора из 16-ти сигналов (т.е. для 16-QAM) равна

P e = 4 16 p(e| S 3 )+ 4 16 p(e| S 6 )+ 8 16 p(e| S 7 )=

= 1 4 { 4− [ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ] 2 − [ 1−erfc( E s 10 N o ) ] 2 }−

− 1 2 { [ 1− 1 2 erfc( E s 10 N o ) ][ 1−erfc( E s 10 N o ) ] }.

После упрощения получаем

P e = 3 2 erfc( E s 10 N o )− 9 16 erf c 2 ( E s 10 N o ).

Пренебрегая составляющими второй степени (erfc²(x)) получаем

P e ≈ 3 2 erfc( E s 10 N o )=3Q( 2 E s 10 N o ).

Формула для расчёта битовой ошибки при m=4 выглядит так:

P b = 3 2⋅m erfc( 4 E b 10 N o )− 9 16⋅ m 2 erf c 2 ( 4 E b 10 N o )= = 3 2⋅4 erfc( 4 E b 10 N o )− 9 16⋅ 4 2 erf c 2 ( 4 E b 10 N o ).

Результаты расчёта вероятности символьной и битовой ошибки представлены в табл. 2.

Таблица 2

Es/No, дБ

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Eb/No, дБ

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

SER

0,81

0,79

0,767

0,74

0,711

0,676

0,633

0,59

0,54

0,48

0,42

0,354

0,287

0,223

BER

0,26

0,25

0,24

0,23

0,22

0,2

0,188

0,17

0,15

0,135

0,115

0,096

0,077

0,06

Графики зависимостей вероятности символьной и битовой ошибки от величины отношения сигнал/шум представлены на рис. 8.

а

б

Рис. 8

Для квадратного созвездия M-QAM расчёт вероятности ошибки приёма для первой группы рассчитывается по формуле

P e1 = ( q −2 ) 2 { 1− [ 1−erfc( 3 E s 2(q−1) N o ) ] 2 }= = ( q −2 ) 2 { 1− [ 1−2Q( 3 E s (q−1) N o ) ] 2 }.

Для второй группы вероятность ошибки приёма рассчитывается по формуле

P e2 =4{ 1− [ 1− 1 2 erfc( 3 E s 2(q−1) N o ) ] 2 }= =4{ 1− [ 1−Q( 3 E s (q−1) N o ) ] 2 }.

Для третьей группы вероятность ошибки приёма рассчитывается по формуле

P e3 =4( q −2){ 1−[ 1− 1 2 erfc( 3 E s 2(q−1) N o ) ] × × [ 1−erfc( 3 E s 2(q−1) N o ) ] }=

=4( q −2){ 1−[ 1−Q( 3 E s (q−1) N o ) ] × × [ 1−2Q( 3 E s (q−1) N o ) ] }.

Вероятность символьной ошибки для всего набора из q сигналов (т.е. для N-QAM) равна

P e = 1 q ( P e1 + P e2 + P e3 )= = 4( q −1) q Q( 3 E s (q−1) N o )− 4 ( q −1) 2 q Q 2 ( 3 E s (q−1) N o ).

Формула для расчёта битовой ошибки будет выглядеть так:

P b = 4( q −1) m q Q( 3m E b (q−1) N o )− 4 ( q −1) 2 m 2 q Q 2 ( 3m E b (q−1) N o ).

Сравнение различных видов QAM при вероятности символьной ошибки 0,0001 представлено в табл. 3, при вероятности битовой ошибки 0,0001 представлено в табл. 4.

Таблица 3

N-QAM

N=2

4

16

64

256

1024

Es/No, дБ

8,4

11,8

19

25,3

31,4

37,5

Таблица 4

N-QAM

N=2

4

16

64

256

1024

Eb/No, дБ

8,4

8,4

12,2

16,5

21,2

26,1

Графики зависимостей вероятности битовой ошибки от величины отношения сигнал/шум для M-QAM при M=2, 4, 16, 64, 256, 1024 представлены на рис. 9.

Рис. 9 – Графики вероятности BER

7 Интерактивный скрипт "Формированиe сигнального созвездия QAM"

В разработанном скрипте предусмотрено два режима работы: 1) упорядоченной двоичной последовательности, при котором формируется полное сигнальное созвездие; 2) случайной двоичной последовательности, при котором длина последовательности задаётся.

Для режима случайной последовательности:

1) вначале необходимо выбрать вид QAM, для чего из выпадающего списка выбрать значение числа передаваемых бит последовательности на один символ; 2) затем следует задать и ввести в текстовое окно количество бит в передаваемой последовательности двоичных чисел; 3) на следующем шаге с помощью ползунка задать значение отношения сигнал/шум; 4) нажать кнопку "Формировать двоичные данные".

Чёрным цветом отображаются состояния сигнала, какими они должны быть в сигнальном созвездии. Зелёным цветом отображаются состояния принятого сигнала с допустимой ошибкой. Красным цветом отображаются состояния ошибочно принятого сигнала.

Сигнальное созвездие

Упорядоченные данные
Случайные данные

Передано, символов Ошибочно принято, символов

Es/N₀[дБ] Eb/N₀ [дБ]

BER SER

Отношение с/ш [дБ]14.2
Вид QAM (bit/symbol)

1

2

4

6

8

10

Длина данных, бит

8 Применение формирующих фильтров и оконных функций

В системах связи ошибки вызваны различными причинами. Одной из причин являются изменения фазы сигналов, которые обусловлены эффектом дрожания фронта импульсного сигнала, относительно синхроимпульсов - джиттером (от англ. "jitter"). Даже относительно малые амплитуды джиттера могут вызвать битовые ошибки.

Кроме того в цифровых системах связи каналы связи имеют ограниченную полосу, из-за чего возможны ошибки из-за взаимодействия сигналов и особенно при многолучевом распространении. При ограничении полосы исходного модулирующего сигнала его спектр сужается, а фронты импульсов расширяются (рис. 10).

Рис. 10

Расширение фронтов приводит к перекрытию импульсов во времени. При этом предыдущий импульс начинает влиять на следующий импульс, и оба они искажаются. Этот эффект, называемый межсимвольной интерференцией (МСИ, в англоязычной литературе intersymbol interference ISI), ухудшает качество передачи информации.

Идеальная импульсная характеристика формирующего фильтра имеет вид

h(t)= sin⁡(π⋅t/T) π⋅t/T .

Характеристика показана на рис. 11,а. Она соответствует идеальному ФНЧ (рис. 11,б).

Рис. 11

Межсимвольная интерференция при этом минимальна, т.к. максимум каждого импульса будет совпадать с нулевой точкой пересечения соседних импульсов, к которым также применяется характеристика формирующего фильтра.

Однако идеальная импульсная характеристика является физически нереализуемой ввиду бесконечных «хвостов» затухающих во времени, но она позволяет сформулировать теоретический предел передачи информации без МСИ. Поэтому на практике бесконечную импульсную характеристику укорачивают по длительности, при этом формирующий фильтр перестаёт быть идеальным.

Укорочение импульсной характеристики приводит к появлению боковых лепестков в АЧХ формирующего фильтра. Уровень боковых лепестков получается очень высоким, а скорость спада АЧХ очень низкой. Кроме того появляется неравномерность в полосе пропускания фильтра. Этот эффект называется эффектом Гиббса.

Широко распространённый способ устранения вредного влияния явления Гиббса заключается в применении к импульсной характеристике идеального ФНЧ так называемой оконной функции w(t). Окончательную импульсную характеристику ФНЧ находят в виде произведения h(t)=hфнч(t)w(t).

Найквистом было предложено произвести сглаживание фронта АЧХ идеального фильтра, расширив его полосу. При этом расширение полосы фильтра делается регулируемым. Вблизи фронта импульса идеальная АЧХ аппроксимируется функцией «приподнятого косинуса»:

w(t)= cos⁡(π⋅β⋅t/T) 1− (2⋅β⋅t/T) 2 .

Параметр β, который изменяется от 0 до 1, задаёт интервал, на котором происходит аппроксимация. При β=0 имеем идеальный ФНЧ, при β=1 имеем формирующий фильтр с АЧХ в виде приподнятого косинуса.

При использовании согласованного фильтра для декодирования на приёмной стороне, его частотная характеристика должна быть комплексно-сопряжённой частотной характеристике формирующего фильтра. Тогда если частотная характеристика формирующего фильтра будет представлять собой корень из приподнятого косинуса, то структура из формирующего (на передающей стороне) и согласованного фильтра (на приёмной стороне) будет реализовывать фильтр Найквиста, который и позволит устранить МСИ при декодировании.

Импульсная характеристика фильтра «корень из приподнятого косинуса» описывается выражением:

w(t)= 1 T sin⁡[ π t T (1−β) ]+4β t T cos⁡[ π t T (1+β) ] π t T [ 1− ( 4β t T ) 2 ] .

На практике применяются и другие виды оконных функций: прямоугольное окно, треугольной формы (окно Барлетта - Bartlett window) [5].

Окончательный сигнал на выходе формирующего фильтра представляется как сумма откликов на входные импульсы, соответствующие цифровому потоку данных:

U вых (t)= ∑ i U вх.i h(t− τ i )

9 Глазковая диаграмма

На практике часто применяется метод вычисления BER с помощью, так называемой глаз-диаграммы (или глазковой диаграммы)[6,7]. Диаграмма строится выводом на экран дисплея цифрового осциллографа вырезок из нестабильного импульсного сигнала. Вырезки сигнала берутся в различные моменты времени с синхронизацией по переднему фронту.

Параметр BER рассчитывается путём измерения Q-фактора . Q-фактор определяется для цифрового сигнала передачи как отношение сигнал–шум (SNR):

Q= | U 1 − U 0 | σ 1 + σ 0 ,

где U₁ и U₂ - математические ожидания, или средние значения, состояний «1» и «0»; σ₁ и σ₀ - их среднеквадратические отклонения.

Q-фактор определяется путём статистической обработки результатов измерения амплитуды и фазы сигнала непосредственно по глаз-диаграмме (см. рис. 12).

Рис. 12 – Глазковая диаграмма

Коэффициент ошибок BER для двухуровневого сигнала пропорционален площади пересечения двух функций распределения состояний «1» и «0»:

BER= P b = 1 2 erfc( | U− U 0 | σ 0 )+ 1 2 erfc( | U− U 1 | σ 1 ),

где U – порог принятия решения.

При x>3 функцию erfc(x) можно приближённо вычислить по формуле:

erfc(x)≈ 1 x 2π exp⁡( − x 2 2 ).

В этом случае порог принятия решения, при котором значение BER минимально, равен

U min⁡ = U 1 ⋅ σ 0 + U 0 ⋅ σ 1 σ 1 + σ 0

и делит зону ошибок на две равные части.

Так как вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю, то значения σ₁ и σ₀ можно определить с учётом правила "трёх сигм" [8] по формулам:

σ₁=ΔU(1)/6;

σ₀=ΔU(0)/6.

Сам коэффициент ошибок можно определить по формуле:

BER= P b = 1 2 erfc( Q 2 )≈ 1 Q 2π exp⁡( − Q 2 2 ).

На рис. 13 представлен график зависимости BER от рассчитанного значения Q-фактора.

Рис. 13

Современные высокоскоростные цифровые записывающие осциллографы реального масштаба времени (digital storage oscilloscopes - DSO) являются наиболее универсальными, гибкими и широко используемыми инструментами для анализа импульсных сигналов с помощью глазковой диаграммы.

10 Интерактивный скрипт "Глазковая диаграмма"

В разработанном скрипте предусмотрено два режима работы. Режим "Импульсная характеристика+сигнал" означает вывод графика импульсной характеристики формирующего фильтра в верхнем графическом окне и полученной в результате обработки импульсной последовательности передаваемого сигнала - в нижнем. Режим "Сигнал+глаз-диаграмма" означает вывод графика импульсной последовательности передаваемого сигнала в верхнем графическом окне и сформированной "глаз-диаграммы" - в нижнем. На графике передаваемого сигнала светло-зелёным цветом отображаются смещённые во времени импульсные характеристики формирующего фильтра.

При нажатии кнопки "Расчёт" формируется случайная последовательность из 20 импульсов. Для улучшения статистической достоверности предусмотрена возможность накопить результат для построения глаз-диаграммы при большем числе импульсов, включая режим "Накопить результат".

Виды модуляции "BPSK" и "QPSK" соответствуют двухуровневым и четырёхуровневым импульсам, соответственно. По характерному виду импульсной характеристики доступны следующие разновидности формирующих фильтров: приподнятый косинус (фильтр Найквиста), корень из приподнятого косинуса, треугольник и прямоугольник. Параметр "alpha" - коэффициент сглаживания АЧХ (rolloff factor), принимает значения от "0" до "1".

Импульсная характеристика+сигналСигнал+глаз-диаграмма |
Вид модуляции сигнала:BPSKQPSK
Добавить шум:0
Накопить результат
Параметры импульсной характеристики:
alpha=0
Приподнятый косинус | Корень из косинуса
Треугольник | Прямоугольник

Литература

1. Прокис Джон. Цифровая связь. Пер. с англ./Под ред. Д.Д. Кловского. - М.: Радио и связь. - 2000. - 800 с.

2. Box G. E. P., Muller M. E. A Note on the Generation of Random Normal Deviates, The Annals of Mathematical Statistics, 1958, Vol. 29, No. 2 pp. 610–611

3. Bit Error Rate (BER) for BPSK modulation − [Электронный ресурс]. – URL: http://www.dsplog.com/2007/08/05/bit-error-probability-for-bpsk-modulation/ (дата обращения: 24.04.2018)

4. Symbol Error Rate for 16-QAM − [Электронный ресурс]. – URL: http://www.dsplog.com/2007/12/09/symbol-error-rate-for-16-qam/ (дата обращения: 24.04.2018)

5. Некоторые оконные функции и их параметры − [Электронный ресурс]. – URL: http://www.dsplib.ru/content/winadd/win.html(дата обращения: 24.04.2018)

6. Рекомендация МСЭ-Т O.201. Аппаратура измерения Q-фактора для оценки качественных показателей передачи оптических каналов − [Электронный ресурс]. – URL: http://docplayer.ru/54636603-Mse-t-o-201-apparatura-izmereniya-q-faktora-dlya-ocenki-kachestvennyh-pokazateley-peredachi-opticheskih-kanalov.html (дата обращения: 24.04.2018).

7. Бурдин А. В. Методы и средства измерений в телекоммуникационных системах: Курс лекций. – − [Электронный ресурс]. – URL: http://lsits.psuti.ru/arc/msits/msits_9.pdf (дата обращения: 24.04.2018)

8. Правило трёх сигм − [Электронный ресурс]. – URL: https://basegroup.ru/community/glossary/3-sigma(дата обращения: 24.04.2018)