Точная оценка сверху меры малых значений полиномов

Abstract

В 1932 г. К. Малер предложил классификацию действительных и комплексных чисел. Признаком, по которому различались классы чисел из R и C, была аппроксимация нуля значениями модуля полинома с целыми коэффициентами в данной точке. При классификации действительных и комплексных чиселтакже важное значение имеет нижняя оценка величин γ, для которых неравенство |P(x)| < H-γ имеет бесконечное число решений в целочисленных полиномах. Дж. Касселс и В. Шмидт доказали, что она не превосходит степени полинома. Также при решении многих задач теории чисел важно знать, какое значение имеет оценка сверху для множества действительных чисел, для которых неравенство |P(x)| < Q-ω, ω > 0, имеет решение в целочисленных полиномах. Во введении дан обзор литературы по теме работы, приведены известные задачи метрической теории диофантовых приближений, поставленные К. Малером, связанные с тематикой исследования, а также результаты, изложенные ранее В. Г. Спринджуком, А. Бейкером, В. И. Берником, Н. В. Будариной. В основной части получена оценка сверху для множества действительных чисел, для которых указанное неравенство имеет решение в целочисленных полиномах второй степени. Данная оценка улучшает полученные ранее результаты. Приведена теорема о том, что µ(M2(ω, Q))< c2 ⋅ Q-(ω-1)/2. Для доказательства основной теоремы рассмотрены три вспомогательных утверждения в зависимости от значения производной многочлена P(x) в одном из его корней. Также использованы леммы В. Г. Спринджука, рассмотрены существенные и несущественные интервалы. В заключении изложены направления дальнейших исследований. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии метрической теории диофантовых приближений, а также при нахождении распределения алгебраических чисел, их дискриминантов и результантов.