Аналитические свойства решений трехмерных автономных консервативных систем с одной или тремя квадратичными нелинейностями без хаотического поведения

Abstract

Исследованы аналитические свойства решений 4-х семейств трехмерных автономных консервативных систем с одной или тремя квадратичными нелинейностями. Консервативные системы первого семейства имеют одну квадратичную нелинейность и три линейные компоненты. Системы второго семейства – консервативные системы, имеющие одну квадратичную нелинейность, две линейные компоненты и одну константу. Консервативные системы третьего семейства содержат три квадратичные нелинейности и одну линейную компоненту. К системам четвертого семейства относятся консервативные системы с тремя квадратичными нелинейностями и одним постоянным членом. Общим (с качественной точки зрения) для данных систем является отсутствие в них хаоса. Для анализа решений рассматриваемых систем использован тест Пенлеве, а также сведение систем к эквивалентным им уравнениям второго или третьего порядков и сравнение последних с известными нелинейными уравнениями Р-типа. Выделены системы, общие решения которых обладают свойством Пенлеве. Решения таких систем выражаются через эллиптические функции, либо через функции-решения первого уравнения Пенлеве. Показано, что среди систем, общие решения которых содержат подвижные критические точки, есть такие, у которых одна из компонент решения во- обще не имеет подвижных особых точек. Рассмотренные в работе системы принадлежат к классу из 7 семейств консервативных систем (с общим числом членов в правых частях, равным 4). Исследованию аналитических свойств решений систем остальных трех семейств будет посвящена отдельная статья.