Аналитические свойства решений трехмерных консервативных систем с двумя или четырьмя квадратичными нелинейностями

Abstract

Исследованы аналитические свойства решений трех семейств трехмерных автономных консервативных систем с двумя или четырьмя квадратичными нелинейностями. Консервативные системы первого семейства имеют две квадратичные нелинейности и две линейные компоненты. Системы второго семейства – консервативные системы, имеющие две квадратичные нелинейности, одну линейную компоненту и один постоянный член. К системам третьего семейства относятся консервативные системы с четырьмя квадратичными нелинейностями. Для анализа решений рассматриваемых систем использован тест Пенлеве, а также сведение систем к эквивалентным им уравнениям второго или третьего порядков и сравнение последних с известными нелинейными уравнениями Р-типа. Выделены три системы, общие решения которых обладают свойством Пенлеве. Решения одной из указанных систем выражаются через элементарные функции, а двух других – через функции-решения первого или второго уравнений Пенлеве. Показано, что среди систем, не являющихся системами Пенлеве-типа, имеются такие, одна из компонент которых вообще не имеет подвижных особых точек. Для каждой из систем третьего семейства построены точные однопараметрические семейства решений. Кроме того, показано наличие у одной из систем третьего семейства двухпараметрического семейства мероморфных решений. Общим (с качественной точки зрения) для данных систем (за исключением одной) является отсутствие в них хаоса.